播客系列丨Vol.34 足球经济学：关于转会，我们可能有很多误解
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以下配文来自大橘同学。
看到“工资可以解释92%的成绩变动”时，我的第一反应是，给凯恩的工资翻几番热刺不就能拿欧冠了吗？听起来有点扯，就去翻了原论文，看完以后给出了原文逻辑。
这个模型是史蒂芬-西曼斯基教授，也就是《足球经济学》第二作者在1997年的论文《英国足球产业：利润、表现和产业结构》中提出来的。模型是用来解释受资金规模限制的足球俱乐部，如何最大化自己的利润和竞争力。
西曼斯基论文剪影
理论
足球俱乐部的老板做决策，给谁开多少工资，卖谁买谁，修不修球场，很大程度上取决于他的主观判断，而他判断的依据就是，这个决策可以让我爽，就做，让我不爽，就不做。
老板爽的程度在经济学中有一个专门的词来描述，叫做效用。那么什么样的事情能让老板很爽呢？
首先，赢球很爽。
里昂主席奥拉斯，缔造球队历史的辉煌时代
我们假设足球市场完全竞争，而且劳动力市场出清，也就是说，球员的供给等于球员的需求。此外，在转会市场信息对称，俱乐部老板是理性的，不存在一个脑子有泡的老板，越输越开心。
我们把足球俱乐部看做一个公司的话，他们的产品是足球比赛，衡量这一俱乐部产出水平可以用俱乐部的成绩，在实证中用该俱乐部在联赛中的位置表示，如果一个俱乐部在联赛中排名越靠前，则说明这支俱乐部的产出水平越高。
产出水平是生产中投入的生产要素的函数。在足球俱乐部中，最大的生产要素是劳动力，也就是球员和其他员工的工资。我们把模型简化为只有这一种生产要素。那么根据生产函数，这支俱乐部的产出水平为：
其中，Q表示产出水平（用联赛位置衡量），W表示劳动力投入，c和d为系数，下标i表示第i个俱乐部，t表示期数。
其次，赚钱也很爽。
除了争取更好的联赛排名以外，作为俱乐部老板，还会追求利润。虽然有的老板竞价很疯狂，经营一个足球俱乐部有时候成本不那么可控，但作为商人，逐利总还是要的，赔本买卖谁都不愿做。所以第二个让老板爽的因子就是利润。
利润（P）等于收入减去成本，在足球俱乐部中，收入可以大致分为门票收入（pG，p表示门票价格，G表示观众人数）和其他收入（O）两类。支出则可以分为净转会支出（T=转会支出-转会收入），非工资支出和工资支出。即
其中，观众人数G为票价p和俱乐部产出水平Q的函数，即G=f(p, Q) ，也就是说，愿意来看比赛的人多不多，与票价贵不贵和比赛好不好有关系。
而其他收入O，大头为电视转播收入，这其实也与俱乐部的表现Q有直接关系。所以我们把收入改写一下：
我们可以假设净转会支出、非工资支出与工资支出之间存在着以下线性关系：
这个关系经过了实证的检验。非工资支出与净转会支出之和与工资支出成比例。我们可以这样看待这个问题，劳动力水平W=wL，其中w表示工资率，L表示球员的技能水平，短期内工资率不变，如果想要提升W，只能通过增加球员技能L的方式。
非工资支出培养自己的球员，而转会是购买别人培育好的球员。当俱乐部出售自己的球员获得转会收益，其实是收回之前在他身上的投资。所以非工资支出和转会支出可以看做是跨时间的人力资本投入，与劳动力投入呈线性关系。
事实上，我们可以进一步讨论转会与工资的关系，T和W应该有这样的关系：
其中，v为正数，△W表示劳动力敞口。当△W＞0时，表示在劳动力上投资带来的收益大于成本，这时T>0，净转会支出为正，俱乐部更倾向于买人。（投资球员的回报率为正，俱乐部更倾向于扩大投资，也就是买更多的人）。
所以我们可以把俱乐部的利润公式写成：
其中：
我们量化了两个让俱乐部老板最爽的点，一个是赢球，一个是赚钱。
那老板决策的效用函数应该长什么样子呢？虽然球赢得越多越好，钱赚的越多越好，但他们带来的满足感却是边际递减的。也就是说，效用的二阶导小于0。可以这样理解，当你非常非常饿的时候，吃了一个包子，非常快乐，再吃第二个，好像就没有那么快乐了，吃到第三个的时候可能就快撑死了。包子还是那个包子，但给人的感觉却不一样了。
所以我们把效用函数设为一个开口向下的二次函数，即
这是一个二元复合函数，可以通过求偏导找到最大值，最大值对应的P和Q就是在现有规模约束下球队能够达到的最高排名和最大利润。
解得：
实证
用英格兰92家俱乐部的数据做回归：
如果把2007-2016年英超英冠44家俱乐部的数据代入上面的方程，回归出来的结果就是《足球经济学》里的那个模型，R-sq是92%。
虽然解释力很强，但并不是我们想象的那样，提工资就能有好成绩，其实这是一个时间序列模型，工资水平和上一年的成绩一共可以解释当年成绩的92%，我觉得这可以说明工资很重要，但更多地说明成绩是有粘性的，过往成绩对下一年成绩有很强的影响。
所以，“工资可以解释92%的成绩变动”更完整的一个说法应该是“工资和上一年成绩可以解释这一年92%的成绩变动”。给凯恩翻几倍的工资热刺也没法立刻赢欧冠。
有意思的是，当年《足球经济学》在工资支出的重要性这一章节写，如果有钱开得起阿扎尔的工资，那这球队实力肯定上升一大截。这本书18年再版的，现实来看皇马是挺强的，但皇马的阿扎尔嘛……
配文作者：大橘
详情提要:
04:14 转会其实并没有那么重要
18:10 人们在转会市场上干的蠢事儿
23:56 诺丁汉森林，人类高质量FM范本
33:40 极度理智的奥拉斯，让里昂蜕变成豪门
39:16 当代足球经济学模范生——利物浦
45:05 为什么曼城统治英超是一种必然
延伸阅读：
The Premier League record signings that are proving a problem
(https://theathletic.com/3052917/2022/01/10/the-premier-league-record-signings-that-are-proving-a-problem/)
What’s wrong with Soccernomics?
(http://danielaltman.com/data/soccernomics-nya.pdf)
克劳夫的诺丁汉森林，凭智慧逆袭的典范
BGM: Taylor Swift「Blank Space」, Chris Lake / Jessie Ware「Stomper」
-- End --
音频创作：橘乐 CFA, CPA
资料来源：
足球经济学（西蒙-库珀、史蒂芬-西曼斯基著）
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